Everything  that needs to be said has already been said. But since no one was listening , everything must be said again (André Gide)



Czasza / Dome

Najbardziej lubię robić bryły z modułów krawędziowych Tomoko Fuse. Ich wadą jest to, że nie można uzyskać pomiędzy dwiema krawędziami w jednym wierzchołku kąta większego niż kąt prosty. W rezultacie w prosty sposób można uzyskać jedynie trójkąty równoboczne i kwadraty, a potrzebne są jeszcze pięciokąty, sześciookąty, ośmiokąty i dwunastokąty. Pięciokąt i sześciokąt można uzyskać łatwo dodając "szprychy" jak na schematach poniżej. Z wielokątami o większej liczbie boków nie jest to już takie proste - trzeba zbudować bardziej skomplikowaną konstrukcję.

Punktem wyścia jest trójkąt, kwadrat lub pięciokąt, któremu podwajamy boki i uzyskujemy sześciokąt, ośmmiokąt lub dzisięciokąt foremny. Do podwajania boków można użyć kwadratów lub trójkątów. W pierwszym przypadku uzyskujemy czaszę bardziej płaską i z mniejszej liczby modułów (czasza mała), w drugim przypadku uzyskujemy wysoką, bardzo stabilną czaszę, ale potrzebujemy też więcej modułów (czasza wielka).

Zamiast budować czasze, można by też zastosować moduły o różnej długości. Jednak opisany tu sposób jest łatwiejszy na etapie robienia modułów (wszystkie jednakowe) i daje bardzo efektowne rezultaty.

Poniższe schematy nie zachowują skali ani nie są rzutami czasz, w rzeczywistości wszystkie krawędzie są równe. Schematy te są czymś w rodzaje schematów elektrycznych - pokazują co z czym jest połączone. Kolorowe krawędzie leżą w płaszczyźnie poziomej. Czarne krawędzie ułożone są pod różnymi kątami.

Tomoko Fuse's edge unit (open frame 2) is my favourite unit for polyhedra construction. Unfortunatelly there is shortcoming. It is not possible to obtain an angle greater than right angle between two edges in model build using these modules. As a consequence, you can easy obtain only equilateral triangle and square. To build polyhedra models you need also pentagons, hexagons, octagons and dodecagons. It is relatively easy to obtain a pentagon or a hexagon - simply add "spokes" as you can see on picture below. It is nor so easy to obtain polygon with larger number of sides - you must build more sofisticated construction.

We start with triangle, square or pentagon. Then we duplicate sides to obtain regular hexagon, octagon or decagon. To duplicate sides we can use triangles or square. In the first case a resulting dome is more flat and it requires less modules (the lesser dome). In the later case a resulting dome is higher, very stable, but it requires more modules (the greater dome).

We can also use units of various lengths instead of construction of domes. However the way described here is easier at stage of unit folding (all uniform) and gives very nice results.

Following schemes do not preserve length. They also are not the projection of domes. They are graphs. In fact every edge has the same length. The graph is similar to electricity schema - it shows connections not lengths. Every colored edge is horizontal, the black one is skew.

  Czasze małe / Lesser domes Czasze wielkie / Greater domes
Najprostszy przypadek - pięciokąt. Do pięciokąta dodajemy "szprychy". Aby uzyskać ładny pięciokąt należy je wpuścić do wnętrza bryły.
The simplest case - pentagon. To obtain a pentagon we add spokes. To form nice pentagon, the spokes should be let inside model.

 

Podobnie możemy postąpić z sześciokątem, uzyskamy wtedy płaską ścianę.
We can do the same with hexagon - the obtained face is flat.

 

Czasza mała jest niska. Czasza wielka jest wysoka (czubek na głowie mojej córki na zdjęciu powyżej). Konstrukcję czaszy wielkiej można kontynuować i po dodaniu kolejnych dwu pięter uzyskać dwunastokąt foremny.
The lesser dome is low. The grater dome is high. The construction of the greater dome can be extended. After building the next two levels we can obtain dodecagon.

Czaszę ośmiokątną budujemy startując od kwadratu. Dobudowanie na każdym boku kwadratu następnego kwadratu i połączenie ich trójkątami daje czaszę małą. Jest ona niezbyt wysoka. Pierwsze piętro czaszy wielkiej budujemy wyprowadzając z każdego wierzchołka kwadratu trzy krawędzie. Łącząc je otrzymujemy dwadrat o boku 2 modułów. Drugie piętro budujemy wyprowadzając z każdego wierzchołka i środka boku dużego kwadratu po dwie krawędzie. Łącząc je otrzymujemy ośmiokąt foremny o boku 1 modułu.

The octagon dome is built on square. We build next square at each side and join them with triangles. Then we obtain a lesser dome. It is not so high. To obtain a greater dome we start with a square. Then we add additional three edges at each square corner. When we join free ends by edges, the first level is ready - we have obtained a square with side lenght 2.
Then we add additional two edges at each corner and side center at level one. When we join free ends by edges, the second level is ready - we have obtained an octagon (side length 1).

Czaszę dziesięciokątną budujemy startując od pięciokąta wraz ze szprychami.
Dobudowanie na każdym boku pięciokąta kwadratu i połączenie ich trójkątami daje czaszę małą. Jest ona niezbyt wysoka i może być w całości wklęsła. Jest niezbyt sztywna i ma tendencje do deformacji
Pierwsze piętro czaszy wielkiej budujemy wyprowadzając z każdego wierzchołka pięciokąta trzy krawędzie. Łącząc je otrzymujemy pięciokąt foremny o boku 2 modułów. Drugie piętro budujemy wyprowadzając z każdego wierzchołka i środka boku dużego pięciokąta po dwie krawędzie. Łącząc je otrzymujemy dziesięciokąt foremny o boku 1 modułu. Gdy "szprychy" będą wklęsłe, otrzymamy bardzo elegancki, trwały i sztywny element konstrukcyjny brył.

The decagon dome is built on pentagon with spokes. We build a square at each side of pentagon and join them with triangles. Then we obtain a lesser dome. It's low  and can be all cupped. It is also not so stiff and it tend to deformation.
To obtain a greater dome we start with a pentagon with spokes. Then we add additional three edges at each pentagon corner. When we join free ends by edges, the first level is ready - we have obtained a pentagon with side lenght 2.

Then we add additional two edges at each corner and side center at level one . When we join free ends by edges, the second level is ready - we have obtained an decagon (side length 1). If spokes of starting pentagon are cupped, the resulting dome is a very elegant, stable and stiff unit for model construction.


Bryły z czaszami / Polyhedra with domes

Najbardziej efektowne bryły z czaszami można uzyskać budując czasze na wielościanach półforemnych ściętych.
You can obtain the most showy models with domes if you build domes on truncated polyhedra.

Czworościan ścięty / Trunctated tetrahedron

 

Sześcian ścięty / Truncated cube

Ośmiościan ścięty / Truncated octahedron

Sześcio-ośmiościan rombowy wielki
Greater rhombicubooctahedron

Dwunastościan ścięty / Truncated dodecahedron

Dwudziestościan ścięty / Truncated icosahedron

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki
Great rhombicosidodecahedron

© Copyright K. i W. Burczyk, 1998

Twirls 2016

Twirls 2012

Twirls 2008

Twirls 2015

Twirls 2011

Twirls 2007

Twirls 2014

Twirls 2010

Twirls 2013

Twirls 2009

Twirls 2014

Twirls 2015

Twirls 2016